研究興味

• タイヒミュラー空間論（有限次元・無限次元）
• 広い意味での双曲幾何学・双曲多様体論
• タイヒミュラー空間を用いた位相幾何学・双曲幾何学の研究
• 位相幾何学・双曲幾何学を用いたタイヒミュラー空間論の研究
• 正則$2$次微分の幾何学の研究
• その他，それらを用いた他分野への応用

解説

• タイヒミュラー空間論では，その幾何学的性質， 特に複素解析的構造から導かれる幾何学的性質に興味を持って勉強・研究しています．

  • 私は，タイヒミュラー空間の構造および，その種々のコンパクト化に興味を持っています． タイヒミュラー空間のコンパクト化を考えるということは， 双曲曲面（リーマン面）の退化（変形空間での発散）から定まる解析的・幾何学的量の振る舞いを調べることが必要になります． 私は，それらの「行き着く先」に興味があります．

  • 無限次元タイヒミュラー空間は， 単葉関数論・擬等角写像論の研究には欠かせない（数学的）舞台です． このような説明では（位相）幾何学との関連は見えにくいですが， 例えば，コンパクトな曲面の部分曲面は境界付きの曲面になるので， そのタイヒミュラー空間は無限次元になります． 一般には，それの有限次元化（縮約タイヒミュラー空間）を用いますが， 複素解析的構造の関連を見る立場からは， 無限次元の変形空間を見ることが必要だと考えています．

  • 有限次元の場合と異なり，無限次元タイヒミュラー空間の面白いところは，幾何学的感覚からの欲しい結果有限次元タイヒミュラー空間からの類似が一般には成り立たないことです． つまり，つい油断して当たり前だと思っていると， その筋のプロから， 即座に反例もしくは（埋まるかもしれない）論理的なギャップを指摘されますので要注意です．

  • といっても，有限次元が面白くないという意味ではなく， むしろ面白いのです．両者は比較できません． つまり，コンパクトな曲面という非常に基本的な数学的対象の変形空間なので， 様々な分野と関連します． 有限次元タイヒミュラー空間は非常に興味深い研究対象です．

• 双曲幾何学では，特にクライン群の変形論に興味を持っています． 特に，クライン群の退化およびそれにまつわる幾何学的量の振る舞いに興味を持って勉強・研究しています．

  • クライン群論では様々な幾何学的対象が現れ， それらがクライン群が変形されるに従い形を変えます． 例えば，「極限集合」と呼ばれるフラクタル集合（つまりグチャグチャな集合）がたくさん現れます． 面白いことに，それら一見よくわからないものが， クライン群の変形に伴って規則正しく変形されているように見えます． 私は，それらの規則正しく変形されているように思われる対象の「行き着く先」に興味があります．
  • 双曲多様体の構造を調べるためには， タイヒミュラー空間の「離散化」である曲線複体など， 曲面上から位相から定まる空間を理解する必要があります． それらについても興味を持っています．

• タイヒミュラー距離はタイヒミュラー空間上の自然な複素解析的構造における小林距離と一致します． タイヒミュラー距離に関する幾何学と単純閉曲線上の交点数関数に関する幾何学（Thurston理論）は， タイヒミュラー距離に関するグロモフ積を通して関係をつけることが出来ます．

  • 小林距離は複素多様体上の不変量ですので， この関係を通してタイヒミュラー空間の複素解析的構造をどのように理解できるかに興味があります．

• タイヒミュラー空間上において関数論や多重ポテンシャル論を展開することを考えています．

  • べアス埋め込みより，タイヒミュラー空間は複素バナッハ空間（有限次元の場合は複素Euclid空間）内の有界領域ど双正則同値となります．
    • もちろん「どのように（有界）領域として実現するか」というのも面白い問題です．他の有名な埋め込みとしては，マスキット埋め込み，アール埋め込みと呼ばれるものもあります．
  • タイヒミュラー空間はリーマン面の正則族の普遍空間ですので，複素多様体からタイヒミュラー空間への正則写像には幾何学的な意味がつきます．
    • タイヒミュラー空間の上に普遍タイヒミュラー曲線と呼ばれるファイバー空間が定義できます．例えば複素多様体 $M$ からタイヒミュラー空間への正則写像に対して，引き戻しにより $M$ 上の正則族が定まります．
  • では，タイヒミュラー空間上の正則関数とはなんでしょうか？
    • もちろん，定義からコーシー・リーマンの方程式を満たすような関数ですが，これだと多変数関数論の域を超えず，モジュライとしての意味がわかりません．
    • 普遍空間の視点から考えると，正則族から定まる正則に依存する不変量であると考えられます．例えば，周期行列やクライン群による一意化からさだまるトレース関数などはその典型例です．
    • タイヒミュラー空間上の正則関数を研究することは，これらのような正則不変量すべて一緒くたに研究する，つまり正則不変量を俯瞰的な視点から考えることになります．
  • 関数論の中のキーワードとして「正則関数は境界値により定まる」があります（例えばコーシーの積分公式，ポアソン積分公式）．
    • １変数関数論で，境界上のすべての連続関数は調和関数（正則関数の実部）の境界値になりえますが（境界に然るべき滑らかさを仮定する必要があるかもしれませんが），多変数関数論では，そのような単純な話はなく，正則関数の境界値はそれ自身が研究対象ではあります．タイヒミュラー空間のべアス境界上の関数がいつ正則関数の境界値になりえるか，というのは重要な問題だと思います．
    • 上にも書きましたが，タイヒミュラー空間の（理想）境界は，素朴に考えると，ある種の位相幾何学的不変量の集まりであるはずです．つまり，タイヒミュラー空間は標識付き複素構造の空間であり，境界の元はそれが退化した先ということです．退化する先は，全てのリーマン面に対して共通に定義（実現）される対象であるはずですので（でないと，すべての面について退化しているかどうかを語ることができない），なにかしら位相幾何学的指標を元にして現れるというのは自然な考え方です．
    • タイヒミュラー空間上の正則関数が理想境界上の関数と対応した場合，タイヒミュラー空間上の正則関数が曲面上の位相幾何学的視点から研究できることになります．これから，タイヒミュラー理論の複素解析的視点と位相幾何学視点のさらなる融合が期待されます．
  • 極値的長さは多重劣調和函数になります．極値的長さを基本的幾何学的量として，極値的長さのThurston理論の研究で得た境界の取扱にかかる知見を用いて，タイヒミュラー空間の複素構造を解明したいと考えています．
    • もちろん，双曲的長さもタイヒミュラー空間上の重要な関数です．双曲的長さは曲面上の幾何構造をダイレクトに教えてくれますので，視覚的にも非常によい不変量です．また，例えば，ヴェイユ - ペターソン計量を考える場合には，双曲的長さをなくして語ることができません．
    • 双曲的長さと極値的長さの関係を通して，より深い研究が展開できると期待しています．

まとめ

• 有限次元タイヒミュラー空間は， ３次元双曲多様体の構造の研究の際には強力な（数学的）道具になります． 逆に，３次元双曲多様体（クライン群）の変形の研究は， 有限次元タイヒミュラー空間の構造の研究の際には重要になります． さらに，

  • 双曲曲面（リーマン面）の退化
  • 双曲多様体・クライン群の退化
  • 曲面上の種々の幾何構造の退化

  などは相互に関連します． 私はその相互関係から現れる『疑問』を，基本的な研究の指針・指標としています．

• タイヒミュラー空間上の正則関数を考えると，クライン群論の視点では，トレース関数のような正則変形で自然に現れる正則関数を俯瞰的に研究していることになります．

• 一般に，クライン群によるリーマン面の一意化により，クライン群の変形空間はタイヒミュラー空間の商空間と考えられますが，タイヒミュラー空間の商空間としての同一視の際には超越的な話（Ahlfors-Bersの可測リーマン写像定理）を通るため，実際にトレース関数のようなクライン群の変形から現れる関数をタイヒミュラー空間上で考えることは難しいです（少なくとも私には難しい），

  • 実際，クライン群による一意化は射影構造との関係が深く，タイヒミュラー空間（つまり，標識付きリーマン面のレベル）でどの程度扱うべきなのかは，研究対象により見極めなければなりません．
  • ガーディナーの公式という，奇跡的な公式があり，トレース関数（複素移動距離）の微分は内在的視点（タイヒミュラー空間の立場）からなんとなくわかります．しかし「なんとなく」であって完璧になんでもわかるわけでもないと思います．
  • 内部の双曲構造の変形と境界の射影構造の変形の関係は，例えばBrombergなどにより研究されています．

• このように書くと，無限次元タイヒミュラー空間が仲間はずれのように見えますが， そうではないと信じています． つまり，

  • 上記の研究の指針に従って勉強・研究しているうちに，無限次元のタイヒミュラー空間（解析的有限でないリーマン面の変形）を用いたほうが理解しやすいのではないかと思われる状況
  • 無限次元のタイヒミュラー空間（解析的有限でないリーマン面の変形）で考えたらどうなるのだろうという状況が出てきてしまった.
  • 無限次元のタイヒミュラー空間が勉強できる， と想像しただけでワクワクしてしまった． 実は，（今から考えるとそれは誤解だったのだけど）当初， 無限次元のタイヒミュラー空間の研究から「一見さんはお断り」という雰囲気を私は感じていたので， 研究との関連がないととてもじゃないけど手を出せなかった． つまり，指をくわえて眺めているだけだった．
  • あれ？やってみると意外と楽しいぞ．な〜んだ，なんとなくわかるじゃないか．

  という訳です． このようなことですので， 心の奥底では上記の研究と関連しています．

予備知識

• タイヒミュラー空間とは， 双曲曲面（リーマン面）とその上の標識と呼ばれる位相的データ（基本群の生成元の同値類） の変形空間のことです． ここで言う「変形」は擬等角変形と呼ばれる変形で， いわゆるホモトピーよりは一般には強い変形を考えています．
• ホモトピーを上に書きましたが， タイヒミュラー空間を用いて変形を解析する際には， 変形される対象のすべては同じホモトピー型を持ちます． つまり，変形されるものの間に同相写像があることは定義より自明です． 従って，「変形されるか」を問題にするのではなく， 「どのように変形されるか」が問題になります．
• 実際に，上記の擬等角変形では「どの程度変形しなければならないか」という「変形の複雑さ」を測る事ができます （その複雑さを表す量が，いわゆるタイヒミュラー距離と言われるものです）．
• 一般によく知られる曲面の変形空間に モジュライ空間というのがあります． モジュライ空間は曲面上の複素構造の変形空間です． タイヒミュラー空間では複素構造に位相的データを加味した変形を考えるので， モジュライ空間よりも強い同値類を考えていることになります． 実際，タイヒミュラー空間はモジュライ空間の被覆空間になります．
• では，退化するもしくは変形が発散することを考えるというのはどういう事かというと， 変形をし続けてその「行き着く先」にはどのような対象が出てくるのかを考えるという事です． もちろん，面がメチャクチャに潰れる状況を一般に考えるのですが， ここでは位相的データも考えていますので， 面はきれいなままでも位相的データが複雑になればタイヒミュラー空間では発散してしまいます． 実際にそのような状況も退化していると理解します．

作成日：2008/04/01